パートや派遣などは、契約更新しないと言われた場合、働けないでしょうか？

働ける場合もあります。

雇用期間が決まっている労働者の場合には、期間が終われば、契約を更新しない限り、原則として労働契約が終了します。

しかしながら、労働契約締結時の会社の説明・雇用期間の位置付け・従事業務内容・更新回数・更新手続・更新時の説明など個別の事情によりますが、更新しないことが期間の定めのない労働契約を締結している労働者への解雇の意思表示と同視し得るような場合や、契約の更新を期待することに合理的な理由があるような場合（労働契約法19条）には、単に雇用期間が終わったことだけを理由に契約を更新しないことが認められない可能性もあります。

また、平成24年4月以降に締結された「有期労働契約を2回以上締結し」かつ「通算の契約期間が5年を超える」労働者が、会社に対し、当該契約の期間満了までの間に、期間の定めのない労働契約の締結の申込みをした場合、会社は、当該申込みを承諾したものとみなされる場合もあります（労働契約法18条）。

上記の判断には、個別の事情をお聞きして、関係法令・行政通達や過去の類似の裁判例などとも比較して判断する必要がありますので、ご自身の状況がどのような状況にあるのか迷われた時には、契約期間終了を迎える前に、なるべく早く弁護士に相談することをお勧めします。